Risolvi ∫ (from - 3 to - 1) of (1/x^2-1/x^3) wrt x

$$\int _ { - 3 } ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ) d x$$

Calcola

$$\frac{10}{9}\approx 1,111111111$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x con -\frac{1}{x}.

$$-\frac{1}{x}-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x con -\frac{1}{2x^{2}}. Moltiplica -1 per -\frac{1}{2x^{2}}.

$$-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\frac{1}{2}-x}{x^{2}}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\left(\frac{1}{2}-\left(-1\right)\right)\left(-1\right)^{-2}-\left(\frac{1}{2}-\left(-3\right)\right)\left(-3\right)^{-2}$$

Semplifica.

$$\frac{10}{9}$$