Risolvi ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 2 } d x$$

Calcola

$$\frac{1561}{3}\approx 520,333333333$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4x-3\right)^{2}.

$$\int _{-2}^{5}16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int 16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -24x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica 16 per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -24 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 9 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+9x$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{16}{3}\times 5^{3}-12\times 5^{2}+9\times 5-\left(\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}-12\left(-2\right)^{2}+9\left(-2\right)\right)$$

Semplifica.

$$\frac{1561}{3}$$