Risolvi ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Calcola

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Procedura della soluzione

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 1-y per y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Poiché \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int y\mathrm{d}y con \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Poiché \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int y^{2}\mathrm{d}y con \frac{y^{3}}{3}. Moltiplica -1 per \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Semplifica.

$$-\frac{2}{3}$$