Risolvi ∫ _{1/8}^frac{1{4}}(8x+1)^2 wrt x

$$\int _ { \frac { 1 } { 8 } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( 8 x + 1 ) ^ { 2 } d x$$

Calcola

$$\frac{19}{24}\approx 0,791666667$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(8x+1\right)^{2}.

$$\int _{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}64x^{2}+16x+1\mathrm{d}x$$

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int 64x^{2}+16x+1\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 64x^{2}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$64\int x^{2}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica 64 per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{64x^{3}}{3}+16\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 16 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{64x^{3}}{3}+8x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 1 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{64x^{3}}{3}+8x^{2}+x$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{64}{3}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{3}+8\times \left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}-\left(\frac{64}{3}\times \left(\frac{1}{8}\right)^{3}+8\times \left(\frac{1}{8}\right)^{2}+\frac{1}{8}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{19}{24}$$