Risolvi ∫ _{frac{sqrt{2}}{2}}^1(x^4-1/2x^2) wrt x

$$\int _ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ^ { 1 } ( x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } ) d x$$

Calcola

$$\frac{\sqrt{2}}{60}+\frac{1}{30}\approx 0,056903559$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int x^{4}-\frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -\frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{4}\mathrm{d}x con \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica -\frac{1}{2} per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{6}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{1^{5}}{5}-\frac{1^{3}}{6}-\left(\frac{1}{5}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}-\frac{1}{6}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{3}\right)$$

Semplifica.

$$\frac{1}{30}+\frac{\sqrt{2}}{60}$$