Risolvi d/dθleft(cos(θ)right)

$$\frac{d}{d \theta } \left( \cos ( \theta ) \right)$$

Calcola

$$-\sin(\theta )$$

Procedura usando la definizione di una derivata

Per una funzione f\left(x\right), la derivata è il limite di \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} mentre h va a 0, se tale limite esiste.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Usa la formula della somma per il coseno.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Scomponi \cos(\theta ) in fattori.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Riscrivi il limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Usa il fatto che \theta è una costante per calcolare i limiti mentre h va a 0.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Il limite \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } è 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

Per calcolare il limite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, moltiplica prima il numeratore e il denominatore per \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Moltiplica \cos(h)+1 per \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Usa l'identità pitagorica.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Riscrivi il limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Il limite \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } è 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Usa il fatto che \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} è continuo in 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sostituisci il valore 0 nell'espressione \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ).

$$-\sin(\theta )$$

Differenzia rispetto a θ

$$-\cos(\theta )$$