Risolvi x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -\frac{1}{2},1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-1\right)\left(2x+1\right), il minimo comune multiplo di 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Moltiplica x-1 e x-1 per ottenere \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Moltiplica 2x+1 e 2x+1 per ottenere \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per 2x+1 e combinare i termini simili.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x^{2}-x-1 per 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combina 4x^{2} e 6x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combina 4x e -3x per ottenere x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Sottrai 10x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combina x^{2} e -10x^{2} per ottenere -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combina -2x e -x per ottenere -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -9 a a, -3 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica -4 per -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 36 per 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Aggiungi 9 a 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 2 per -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} quando ± è più. Aggiungi 3 a 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Dividi 3+3\sqrt{13} per -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} quando ± è meno. Sottrai 3\sqrt{13} da 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Dividi 3-3\sqrt{13} per -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -\frac{1}{2},1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-1\right)\left(2x+1\right), il minimo comune multiplo di 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Moltiplica x-1 e x-1 per ottenere \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Moltiplica 2x+1 e 2x+1 per ottenere \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per 2x+1 e combinare i termini simili.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x^{2}-x-1 per 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combina 4x^{2} e 6x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combina 4x e -3x per ottenere x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Sottrai 10x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combina x^{2} e -10x^{2} per ottenere -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combina -2x e -x per ottenere -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Sottrai 1 da -2 per ottenere -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Dividi entrambi i lati per -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

La divisione per -9 annulla la moltiplicazione per -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Riduci la frazione \frac{-3}{-9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Riduci la frazione \frac{-3}{-9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividi \frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a \frac{1}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Scomponi x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Sottrai \frac{1}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$