Risolvi 7/x+3+2/x+2

$$\frac{ 7 }{ x+3 } + \frac{ 2 }{ x+2 }$$

Calcola

$$\frac{9x+20}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x+3 e x+2 è \left(x+2\right)\left(x+3\right). Moltiplica \frac{7}{x+3} per \frac{x+2}{x+2}. Moltiplica \frac{2}{x+2} per \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{7\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$

Poiché \frac{7\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)} e \frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{7\left(x+2\right)+2\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 7\left(x+2\right)+2\left(x+3\right).

$$\frac{7x+14+2x+6}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$

Unisci i termini come in 7x+14+2x+6.

$$\frac{9x+20}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$

Espandi \left(x+2\right)\left(x+3\right).

$$\frac{9x+20}{x^{2}+5x+6}$$

Differenzia rispetto a x

$$-\frac{9x^{2}+40x+46}{\left(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x+3 e x+2 è \left(x+2\right)\left(x+3\right). Moltiplica \frac{7}{x+3} per \frac{x+2}{x+2}. Moltiplica \frac{2}{x+2} per \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)})$$

Poiché \frac{7\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)} e \frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7\left(x+2\right)+2\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 7\left(x+2\right)+2\left(x+3\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x+14+2x+6}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)})$$

Unisci i termini come in 7x+14+2x+6.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{9x+20}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)})$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di x+2 per ogni termine di x+3.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{9x+20}{x^{2}+3x+2x+6})$$

Combina 3x e 2x per ottenere 5x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{9x+20}{x^{2}+5x+6})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(9x^{1}+20)-\left(9x^{1}+20\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+5x^{1}+6)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)\times 9x^{1-1}-\left(9x^{1}+20\right)\left(2x^{2-1}+5x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)\times 9x^{0}-\left(9x^{1}+20\right)\left(2x^{1}+5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{2}+5x^{1}+6 per 9x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 9x^{0}+5x^{1}\times 9x^{0}+6\times 9x^{0}-\left(9x^{1}+20\right)\left(2x^{1}+5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Moltiplica 9x^{1}+20 per 2x^{1}+5x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 9x^{0}+5x^{1}\times 9x^{0}+6\times 9x^{0}-\left(9x^{1}\times 2x^{1}+9x^{1}\times 5x^{0}+20\times 2x^{1}+20\times 5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{9x^{2}+5\times 9x^{1}+6\times 9x^{0}-\left(9\times 2x^{1+1}+9\times 5x^{1}+20\times 2x^{1}+20\times 5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{9x^{2}+45x^{1}+54x^{0}-\left(18x^{2}+45x^{1}+40x^{1}+100x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{-9x^{2}-40x^{1}-46x^{0}}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-9x^{2}-40x-46x^{0}}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-9x^{2}-40x-46}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$