Risolvi 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Trova x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -20,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+20\right), il minimo comune multiplo di x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividi 400 per 5 per ottenere 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Moltiplica 80 e 2 per ottenere 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combina x\times 400 e x\times 160 per ottenere 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividi 400 per 5 per ottenere 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Moltiplica 80 e 3 per ottenere 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+20 per 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combina 560x e 240x per ottenere 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 11x per x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Sottrai 11x^{2} da entrambi i lati.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Sottrai 220x da entrambi i lati.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combina 800x e -220x per ottenere 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -11x^{2}+ax+bx+4800. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

La soluzione è la coppia che restituisce 580 come somma.

$$a=660 b=-80$$

Riscrivi -11x^{2}+580x+4800 come \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Fattorizza 11x nel primo e 80 nel secondo gruppo.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Fattorizzare il termine comune -x+60 usando la proprietà distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi -x+60=0 e 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -20,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+20\right), il minimo comune multiplo di x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividi 400 per 5 per ottenere 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Moltiplica 80 e 2 per ottenere 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combina x\times 400 e x\times 160 per ottenere 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividi 400 per 5 per ottenere 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Moltiplica 80 e 3 per ottenere 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+20 per 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combina 560x e 240x per ottenere 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 11x per x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Sottrai 11x^{2} da entrambi i lati.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Sottrai 220x da entrambi i lati.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combina 800x e -220x per ottenere 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -11 a a, 580 a b e 4800 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Eleva 580 al quadrato.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Moltiplica -4 per -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Moltiplica 44 per 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Aggiungi 336400 a 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Moltiplica 2 per -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-580±740}{-22} quando ± è più. Aggiungi -580 a 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Riduci la frazione \frac{160}{-22} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-580±740}{-22} quando ± è meno. Sottrai 740 da -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Dividi -1320 per -22.

$$x=60$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -20,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+20\right), il minimo comune multiplo di x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividi 400 per 5 per ottenere 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Moltiplica 80 e 2 per ottenere 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Combina x\times 400 e x\times 160 per ottenere 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Dividi 400 per 5 per ottenere 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Moltiplica 80 e 3 per ottenere 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+20 per 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Combina 560x e 240x per ottenere 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 11x per x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Sottrai 11x^{2} da entrambi i lati.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Sottrai 220x da entrambi i lati.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Combina 800x e -220x per ottenere 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Sottrai 4800 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Dividi entrambi i lati per -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

La divisione per -11 annulla la moltiplicazione per -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Dividi 580 per -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Dividi -4800 per -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Dividi -\frac{580}{11}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{290}{11}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{290}{11} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{290}{11} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Aggiungi \frac{4800}{11} a \frac{84100}{121} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Scomponi x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Aggiungi \frac{290}{11} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$