Risolvi 3/x^2-4+2/x+2=1

$$\frac{ 3 }{ { x }^{ 2 } -4 } + \frac{ 2 }{ x+2 } =1$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Sottrai 4 da 3 per ottenere -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Considera \left(x-2\right)\left(x+2\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 2 al quadrato.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$-1+2x-x^{2}+4=0$$

E -1 e 4 per ottenere 3.

$$3+2x-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=3 b=-1$$

Riscrivi -x^{2}+2x+3 come \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Fattori in -x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Sottrai 4 da 3 per ottenere -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Considera \left(x-2\right)\left(x+2\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 2 al quadrato.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$-1+2x-x^{2}+4=0$$

E -1 e 4 per ottenere 3.

$$3+2x-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 2 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 4 a 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-2±4}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±4}{-2} quando ± è più. Aggiungi -2 a 4.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dividi 2 per -2.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±4}{-2} quando ± è meno. Sottrai 4 da -2.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi -6 per -2.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-4,x+2.

$$3+\left(x-2\right)\times 2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2.

$$3+2x-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Sottrai 4 da 3 per ottenere -1.

$$-1+2x=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Considera \left(x-2\right)\left(x+2\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 2 al quadrato.

$$-1+2x=x^{2}-4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-1+2x-x^{2}=-4$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati.

$$2x-x^{2}=-4+1$$

E -4 e 1 per ottenere -3.

$$2x-x^{2}=-3$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-3$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{3}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{3}{-1}$$

Dividi 2 per -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{-1}$$

Dividi -3 per -1.

$$x^{2}-2x=3$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Aggiungi 3 a 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-1$$