Risolvi frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Trova b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Procedura per risolvere le equazioni con i radicali

Razionalizza il denominatore di \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Considera \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Eleva 2 al quadrato. Eleva \sqrt{5} al quadrato.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Sottrai 5 da 4 per ottenere -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Moltiplica 2+\sqrt{5} e 2+\sqrt{5} per ottenere \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

E 4 e 5 per ottenere 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Qualsiasi numero diviso per -1 avrà come risultato il suo opposto. Per trovare l'opposto di 9+4\sqrt{5}, trova l'opposto di ogni termine.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Considera \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Eleva 2 al quadrato. Eleva \sqrt{5} al quadrato.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Sottrai 5 da 4 per ottenere -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Moltiplica 2-\sqrt{5} e 2-\sqrt{5} per ottenere \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

E 4 e 5 per ottenere 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Qualsiasi numero diviso per -1 avrà come risultato il suo opposto. Per trovare l'opposto di 9-4\sqrt{5}, trova l'opposto di ogni termine.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Sottrai 9 da -9 per ottenere -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Combina -4\sqrt{5} e 4\sqrt{5} per ottenere 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Sottrai a da entrambi i lati.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Trova a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$