Risolvi frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Calcola

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Considera \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Eleva 2 al quadrato. Eleva \sqrt{3} al quadrato.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Sottrai 3 da 4 per ottenere 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Un numero diviso per 1 resta uguale a se stesso.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Moltiplica 2+\sqrt{3} e 2+\sqrt{3} per ottenere \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Considera \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Eleva 2 al quadrato. Eleva \sqrt{3} al quadrato.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Sottrai 3 da 4 per ottenere 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Un numero diviso per 1 resta uguale a se stesso.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Moltiplica 2-\sqrt{3} e 2-\sqrt{3} per ottenere \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

E 4 e 3 per ottenere 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

E 4 e 3 per ottenere 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Per trovare l'opposto di 7-4\sqrt{3}, trova l'opposto di ogni termine.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

L'opposto di -4\sqrt{3} è 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Sottrai 7 da 7 per ottenere 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combina 4\sqrt{3} e 4\sqrt{3} per ottenere 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$