Risolvi 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right), il minimo comune multiplo di x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combina 2x e 3x per ottenere 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Sottrai 9 da -4 per ottenere -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x-9 per x-2 e combinare i termini simili.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Aggiungi 15x a entrambi i lati.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combina 5x e 15x per ottenere 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Sottrai 18 da -13 per ottenere -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 20 a b e -31 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 400 a -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} quando ± è più. Aggiungi -20 a 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Dividi -20+2\sqrt{7} per -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{7} da -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Dividi -20-2\sqrt{7} per -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right), il minimo comune multiplo di x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combina 2x e 3x per ottenere 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Sottrai 9 da -4 per ottenere -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x-9 per x-2 e combinare i termini simili.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Aggiungi 15x a entrambi i lati.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combina 5x e 15x per ottenere 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Aggiungi 13 a entrambi i lati.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

E 18 e 13 per ottenere 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Dividi 20 per -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Dividi 31 per -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Dividi -\frac{20}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{10}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{10}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{10}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Aggiungi -\frac{31}{3} a \frac{100}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Aggiungi \frac{10}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$