Risolvi 2/x=4x+7/5x^2+1

$$\frac{ 2 }{ x } = \frac{ 4x+7 }{ 5 { x }^{ 2 } +1 }$$

Trova x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(5x^{2}+1\right), il minimo comune multiplo di x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x^{2}+1 per 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Combina 10x^{2} e -4x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-4 b=-3$$

Riscrivi 6x^{2}-7x+2 come \left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Fattori in 2x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-2=0 e 2x-1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(5x^{2}+1\right), il minimo comune multiplo di x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x^{2}+1 per 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Combina 10x^{2} e -4x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -7 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Aggiungi 49 a -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 6}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{7±1}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±1}{12} quando ± è più. Aggiungi 7 a 1.

$$x=\frac{8}{12}$$

Riduci la frazione \frac{8}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±1}{12} quando ± è meno. Sottrai 1 da 7.

$$x=\frac{6}{12}$$

Riduci la frazione \frac{6}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(5x^{2}+1\right), il minimo comune multiplo di x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x^{2}+1 per 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Combina 10x^{2} e -4x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Sottrai 7x da entrambi i lati.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$6x^{2}-7x=-2$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{7}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{49}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Aggiungi \frac{7}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$