Risolvi 10/x^2-2x-8+5/x+2+1=0

$$\frac{ 10 }{ { x }^{ 2 } -2x-8 } + \frac{ 5 }{ x+2 } +1=0$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Sottrai 20 da 10 per ottenere -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+2 e combinare i termini simili.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combina 5x e -2x per ottenere 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Sottrai 8 da -10 per ottenere -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+3x-18 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-3 b=6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Sottrai 20 da 10 per ottenere -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+2 e combinare i termini simili.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combina 5x e -2x per ottenere 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Sottrai 8 da -10 per ottenere -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-3 b=6$$

Riscrivi x^{2}+3x-18 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Sottrai 20 da 10 per ottenere -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+2 e combinare i termini simili.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combina 5x e -2x per ottenere 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Sottrai 8 da -10 per ottenere -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 3 a b e -18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-18\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -18.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+72}}{2}$$

Aggiungi 9 a 72.

$$x=\frac{-3±\sqrt{81}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$x=\frac{-3±9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±9}{2} quando ± è più. Aggiungi -3 a 9.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividi 6 per 2.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±9}{2} quando ± è meno. Sottrai 9 da -3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Dividi -12 per 2.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Sottrai 20 da 10 per ottenere -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+2 e combinare i termini simili.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Combina 5x e -2x per ottenere 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Sottrai 8 da -10 per ottenere -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Aggiungi 18 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$3x+x^{2}=18$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=18$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 18 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$

Fattore x^{2}+3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-6$$