Risolvi 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Trova x

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

E 3 e 18 per ottenere 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Aggiungi 3x a entrambi i lati.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x e 3x per ottenere 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=7 b=-3$$

Riscrivi -x^{2}+4x+21 come \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Fattori in -x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

E 3 e 18 per ottenere 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Aggiungi 3x a entrambi i lati.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x e 3x per ottenere 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 4 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 16 a 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±10}{-2} quando ± è più. Aggiungi -4 a 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividi 6 per -2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±10}{-2} quando ± è meno. Sottrai 10 da -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Dividi -14 per -2.

$$x=7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=7$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=7$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

E 3 e 18 per ottenere 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Aggiungi 3x a entrambi i lati.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x e 3x per ottenere 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Sottrai 21 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4x-x^{2}=-21$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Dividi 4 per -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Dividi -21 per -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Aggiungi 21 a 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=-3$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=7$$