Risolvi 1/x-1+1/2x+1

$$\frac{ 1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ 2x+1 }$$

Calcola

$$\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-1 e 2x+1 è \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Moltiplica \frac{1}{x-1} per \frac{2x+1}{2x+1}. Moltiplica \frac{1}{2x+1} per \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Poiché \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} e \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{2x+1+x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Unisci i termini come in 2x+1+x-1.

$$\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Espandi \left(x-1\right)\left(2x+1\right).

$$\frac{3x}{2x^{2}-x-1}$$

Differenzia rispetto a x

$$-\frac{3\left(2x^{2}+1\right)}{\left(\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-1 e 2x+1 è \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Moltiplica \frac{1}{x-1} per \frac{2x+1}{2x+1}. Moltiplica \frac{1}{2x+1} per \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Poiché \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} e \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+1+x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Unisci i termini come in 2x+1+x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di x-1 per ogni termine di 2x+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{2x^{2}+x-2x-1})$$

Combina x e -2x per ottenere -x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{2x^{2}-x-1})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1})-3x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{2}-x^{1}-1)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\times 3x^{1-1}-3x^{1}\left(2\times 2x^{2-1}-x^{1-1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\times 3x^{0}-3x^{1}\left(4x^{1}-x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Moltiplica 2x^{2}-x^{1}-1 per 3x^{0}.

$$\frac{2x^{2}\times 3x^{0}-x^{1}\times 3x^{0}-3x^{0}-3x^{1}\left(4x^{1}-x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Moltiplica 3x^{1} per 4x^{1}-x^{0}.

$$\frac{2x^{2}\times 3x^{0}-x^{1}\times 3x^{0}-3x^{0}-\left(3x^{1}\times 4x^{1}+3x^{1}\left(-1\right)x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{2\times 3x^{2}-3x^{1}-3x^{0}-\left(3\times 4x^{1+1}+3\left(-1\right)x^{1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{6x^{2}-3x^{1}-3x^{0}-\left(12x^{2}-3x^{1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{-6x^{2}-3x^{0}}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}-3x^{0}}{\left(2x^{2}-x-1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}-3}{\left(2x^{2}-x-1\right)^{2}}$$