Risolvi x^2-5x+6/x^2-7x+12=2

$$\frac{ { x }^{ 2 } -5x+6 }{ { x }^{ 2 } -7x+12 } =2$$

Trova x

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 3,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x-3\right).

$$x^{2}-5x+6=2\left(x-4\right)\left(x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x-4.

$$x^{2}-5x+6=\left(2x-8\right)\left(x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-8 per x-3 e combinare i termini simili.

$$x^{2}-5x+6=2x^{2}-14x+24$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+6-2x^{2}=-14x+24$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=-14x+24$$

Aggiungi 14x a entrambi i lati.

$$-x^{2}-5x+6+14x=24$$

Combina -5x e 14x per ottenere 9x.

$$-x^{2}+9x+6=24$$

Sottrai 24 da entrambi i lati.

$$-x^{2}+9x+6-24=0$$

Sottrai 24 da 6 per ottenere -18.

$$-x^{2}+9x-18=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=9 ab=-\left(-18\right)=18$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 9 come somma.

$$a=6 b=3$$

Riscrivi -x^{2}+9x-18 come \left(-x^{2}+6x\right)+\left(3x-18\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(3x-18\right)$$

Fattori in -x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(-x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e -x+3=0.

$$x=6 x=3$$

La variabile x non può essere uguale a 3.

$$x=6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 3,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x-3\right).

$$x^{2}-5x+6=2\left(x-4\right)\left(x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x-4.

$$x^{2}-5x+6=\left(2x-8\right)\left(x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-8 per x-3 e combinare i termini simili.

$$x^{2}-5x+6=2x^{2}-14x+24$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+6-2x^{2}=-14x+24$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=-14x+24$$

Aggiungi 14x a entrambi i lati.

$$-x^{2}-5x+6+14x=24$$

Combina -5x e 14x per ottenere 9x.

$$-x^{2}+9x+6=24$$

Sottrai 24 da entrambi i lati.

$$-x^{2}+9x+6-24=0$$

Sottrai 24 da 6 per ottenere -18.

$$-x^{2}+9x-18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 9 a b e -18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -18.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 81 a -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-9±3}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-9±3}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-9±3}{-2} quando ± è più. Aggiungi -9 a 3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi -6 per -2.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-9±3}{-2} quando ± è meno. Sottrai 3 da -9.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Dividi -12 per -2.

$$x=6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=6$$

La variabile x non può essere uguale a 3.

$$x=6$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 3,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-4\right)\left(x-3\right).

$$x^{2}-5x+6=2\left(x-4\right)\left(x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x-4.

$$x^{2}-5x+6=\left(2x-8\right)\left(x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-8 per x-3 e combinare i termini simili.

$$x^{2}-5x+6=2x^{2}-14x+24$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+6-2x^{2}=-14x+24$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=-14x+24$$

Aggiungi 14x a entrambi i lati.

$$-x^{2}-5x+6+14x=24$$

Combina -5x e 14x per ottenere 9x.

$$-x^{2}+9x+6=24$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$-x^{2}+9x=24-6$$

Sottrai 6 da 24 per ottenere 18.

$$-x^{2}+9x=18$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{18}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{18}{-1}$$

Dividi 9 per -1.

$$x^{2}-9x=\frac{18}{-1}$$

Dividi 18 per -1.

$$x^{2}-9x=-18$$

Dividi -9, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-18+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-18+\frac{81}{4}$$

Aggiungi -18 a \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}-9x+\frac{81}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=3$$

La variabile x non può essere uguale a 3.

$$x=6$$