Risolvi frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}-frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}=2sqrt{15}

$$\frac{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } } - \frac{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } } = 2 \sqrt{ 15 }$$

Verifica

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Considera \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Eleva \sqrt{5} al quadrato. Eleva \sqrt{3} al quadrato.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Sottrai 3 da 5 per ottenere 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Moltiplica \sqrt{5}+\sqrt{3} e \sqrt{5}+\sqrt{3} per ottenere \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Per moltiplicare \sqrt{5} e \sqrt{3}, moltiplica i numeri sotto la radice quadrata.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

E 5 e 3 per ottenere 8.

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Dividi ogni termine di 8+2\sqrt{15} per 2 per ottenere 4+\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{15}$$

Considera \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=2\sqrt{15}$$

Eleva \sqrt{5} al quadrato. Eleva \sqrt{3} al quadrato.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=2\sqrt{15}$$

Sottrai 3 da 5 per ottenere 2.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}=2\sqrt{15}$$

Moltiplica \sqrt{5}-\sqrt{3} e \sqrt{5}-\sqrt{3} per ottenere \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Per moltiplicare \sqrt{5} e \sqrt{3}, moltiplica i numeri sotto la radice quadrata.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}=2\sqrt{15}$$

E 5 e 3 per ottenere 8.

$$4+\sqrt{15}-\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{15}$$

Dividi ogni termine di 8-2\sqrt{15} per 2 per ottenere 4-\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-\left(4-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

Per trovare l'opposto di 4-\sqrt{15}, trova l'opposto di ogni termine.

$$4+\sqrt{15}-4-\left(-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

L'opposto di -\sqrt{15} è \sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-4+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Sottrai 4 da 4 per ottenere 0.

$$\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Combina \sqrt{15} e \sqrt{15} per ottenere 2\sqrt{15}.

$$2\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Sottrai 2\sqrt{15} da entrambi i lati.

$$2\sqrt{15}-2\sqrt{15}=0$$

Combina 2\sqrt{15} e -2\sqrt{15} per ottenere 0.

$$0=0$$

Confronta 0 e 0.

$$\text{true}$$