Risolvi frac{sqrt{2}-2}{sqrt{2}+2sqrt{3}}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } -2 }{ \sqrt{ 2 } +2 \sqrt{ 3 } }$$

Calcola

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-2\sqrt{3}-1}{5}\approx -0,120079662$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}$$

Considera \left(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{2-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Espandi \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{2-2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{2-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{2-4\times 3}$$

Moltiplica 4 e 3 per ottenere 12.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{2-12}$$

Sottrai 12 da 2 per ottenere -10.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{-10}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di \sqrt{2}-2 per ogni termine di \sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{3}-2\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{-10}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}\sqrt{3}-2\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{-10}$$

Per moltiplicare \sqrt{2} e \sqrt{3}, moltiplica i numeri sotto la radice quadrata.

$$\frac{2-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{-10}$$