Risolvi x-2/x^2-x-6=3/2x+4-x/4-x^2

$$\frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { 2 x + 4 } - \frac { x } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Trova x

$$x=1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-4 per x-2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x-2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-5x+6 per 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6-2x per x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Per trovare l'opposto di 6x-2x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combina -15x e -6x per ottenere -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combina 3x^{2} e 2x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combina 2x^{2} e -5x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Aggiungi 21x a entrambi i lati.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combina -8x e 21x per ottenere 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Sottrai 18 da 8 per ottenere -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=-3\left(-10\right)=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=10 b=3$$

Riscrivi -3x^{2}+13x-10 come \left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Scomponi -x in -3x^{2}+10x.

$$-x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Fattorizzare il termine comune 3x-10 usando la proprietà distributiva.

$$\left(3x-10\right)\left(-x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 3x-10=0 e -x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-4 per x-2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x-2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-5x+6 per 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6-2x per x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Per trovare l'opposto di 6x-2x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combina -15x e -6x per ottenere -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combina 3x^{2} e 2x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combina 2x^{2} e -5x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Aggiungi 21x a entrambi i lati.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combina -8x e 21x per ottenere 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Sottrai 18 da 8 per ottenere -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 13 a b e -10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+12\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 169 a -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-13±7}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±7}{-6} quando ± è più. Aggiungi -13 a 7.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividi -6 per -6.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±7}{-6} quando ± è meno. Sottrai 7 da -13.

$$x=-\frac{20}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=\frac{10}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-4 per x-2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x-2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-5x+6 per 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6-2x per x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Per trovare l'opposto di 6x-2x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Combina -15x e -6x per ottenere -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Combina 3x^{2} e 2x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Combina 2x^{2} e -5x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Aggiungi 21x a entrambi i lati.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Combina -8x e 21x per ottenere 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}+13x=18-8$$

Sottrai 8 da 18 per ottenere 10.

$$-3x^{2}+13x=10$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+13x}{-3}=\frac{10}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{13}{-3}x=\frac{10}{-3}$$

Dividi 13 per -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{-3}$$

Dividi 10 per -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Dividi -\frac{13}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{13}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{13}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Aggiungi -\frac{10}{3} a \frac{169}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{49}{36}$$

Scomponi x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{7}{6}$$

Aggiungi \frac{13}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$