Risolvi x/x^2-x-6=3/x^2-5x+6

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 }$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combina -2x e -3x per ottenere -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-5x-6 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-6 b=1$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combina -2x e -3x per ottenere -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-6 b=1$$

Riscrivi x^{2}-5x-6 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Scomponi x in x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combina -2x e -3x per ottenere -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -5 a b e -6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-6\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2}$$

Aggiungi 25 a 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±7}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{2} quando ± è più. Aggiungi 5 a 7.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{2} quando ± è meno. Sottrai 7 da 5.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Dividi -2 per 2.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-x-6,x^{2}-5x+6.

$$\left(x-2\right)x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x.

$$x^{2}-2x=\left(x+2\right)\times 3$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$x^{2}-2x=3x+6$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x-3x=6$$

Combina -2x e -3x per ottenere -5x.

$$x^{2}-5x=6$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Aggiungi 6 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-1$$