Risolvi x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Trova x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x+6 per x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x^{2}-12 per 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combina 3x^{2} e -6x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Moltiplica -1 e 5 per ottenere -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Combina 6x e -5x per ottenere x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=9 b=-8$$

Riscrivi -3x^{2}+x+24 come \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Fattorizza 3x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Fattorizzare il termine comune -x+3 usando la proprietà distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi -x+3=0 e 3x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x+6 per x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x^{2}-12 per 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combina 3x^{2} e -6x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Moltiplica -1 e 5 per ottenere -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Combina 6x e -5x per ottenere x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 1 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 1 a 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±17}{-6} quando ± è più. Aggiungi -1 a 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{16}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±17}{-6} quando ± è meno. Sottrai 17 da -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dividi -18 per -6.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x+6 per x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x^{2}-12 per 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Combina 3x^{2} e -6x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Moltiplica -1 e 5 per ottenere -5.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Combina 6x e -5x per ottenere x.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Dividi 1 per -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Dividi -24 per -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Dividi -\frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Aggiungi 8 a \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Scomponi x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Aggiungi \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$