Risolvi x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

Trova x

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

E 18 e 27 per ottenere 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Sottrai 6x da entrambi i lati.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combina -3x e -6x per ottenere -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Sottrai 45 da entrambi i lati.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-45. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -9 come somma.

$$a=-15 b=6$$

Riscrivi 2x^{2}-9x-45 come \left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right).

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-15 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-15=0 e x+3=0.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

E 18 e 27 per ottenere 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Sottrai 6x da entrambi i lati.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combina -3x e -6x per ottenere -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Sottrai 45 da entrambi i lati.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -9 a b e -45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

Aggiungi 81 a 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

L'opposto di -9 è 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{9±21}{4} quando ± è più. Aggiungi 9 a 21.

$$x=\frac{30}{4}$$

Riduci la frazione \frac{30}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{9±21}{4} quando ± è meno. Sottrai 21 da 9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

E 18 e 27 per ottenere 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Sottrai 6x da entrambi i lati.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combina -3x e -6x per ottenere -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x=45$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Dividi -\frac{9}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Aggiungi \frac{45}{2} a \frac{81}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Aggiungi \frac{9}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=\frac{15}{2}$$