Risolvi x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x+6 per x+1 e combinare i termini simili.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} e 6x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 13x per x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Sottrai 13x^{2} da entrambi i lati.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} e -13x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Sottrai 13x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x e -13x per ottenere -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=2 b=-3$$

Riscrivi -x^{2}-x+6 come \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+2=0 e x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x+6 per x+1 e combinare i termini simili.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} e 6x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 13x per x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Sottrai 13x^{2} da entrambi i lati.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} e -13x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Sottrai 13x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x e -13x per ottenere -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -1 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 1 a 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±5}{-2} quando ± è più. Aggiungi 1 a 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividi 6 per -2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±5}{-2} quando ± è meno. Sottrai 5 da 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividi -4 per -2.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=2$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x+6 per x+1 e combinare i termini simili.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} e 6x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 13x per x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Sottrai 13x^{2} da entrambi i lati.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} e -13x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Sottrai 13x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x e -13x per ottenere -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-x^{2}-x=-6$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Dividi -1 per -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Dividi -6 per -1.

$$x^{2}+x=6$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 6 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-3$$