Risolvi x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Trova x,.y

$$x=14$$

$$y=9$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 21, il minimo comune multiplo di 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 14.

$$-x+42y=364$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x+7y=105$$

Sottrai 7y da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=-7y+105$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Sostituisci -\frac{7y}{3}+35 a x nell'altra equazione -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Moltiplica -1 per -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Aggiungi \frac{7y}{3} a 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Aggiungi 35 a entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{133}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=9$$

Sostituisci 9 a y in x=-\frac{7}{3}y+35. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Moltiplica -\frac{7}{3} per 9.

$$x=-21+35$$

Aggiungi 35 a -21.

$$x=14$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=14,y=9$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 21, il minimo comune multiplo di 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 14.

$$-x+42y=364$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=14,y=9$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 21, il minimo comune multiplo di 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 14.

$$-x+42y=364$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Per rendere 3x e -x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Semplifica.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Sottrai -3x+126y=1092 a -3x-7y=-105 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Aggiungi -3x a 3x. I termini -3x e 3x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Aggiungi -7y a -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Aggiungi -105 a -1092.

$$-133y=-1197$$

Dividi entrambi i lati per -133.

$$y=9$$

Sostituisci 9 a y in -x+42y=364. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-x+42\times 9=364$$

Moltiplica 42 per 9.

$$-x+378=364$$

Sottrai 378 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x=-14$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$x=14$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=14,y=9$$