Risolvi x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Trova x,.y

$$x=15$$

$$y=12$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 20, il minimo comune multiplo di 5,4.

$$4x=5y$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Moltiplica \frac{1}{4} per 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Sostituisci \frac{5y}{4} a x nell'altra equazione -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Aggiungi -\frac{5y}{4} a y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Moltiplica entrambi i lati per -4.

$$y=12$$

Sostituisci 12 a y in x=\frac{5}{4}y. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Moltiplica \frac{5}{4} per 12.

$$x=15$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=15,y=12$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 20, il minimo comune multiplo di 5,4.

$$4x=5y$$

Sottrai 5y da entrambi i lati.

$$4x-5y=0$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 3.

$$y=x-3$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=-3$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=15,y=12$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 20, il minimo comune multiplo di 5,4.

$$4x=5y$$

Sottrai 5y da entrambi i lati.

$$4x-5y=0$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 3.

$$y=x-3$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=-3$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Per rendere 4x e -x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Semplifica.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Sottrai -4x+4y=-12 a -4x+5y=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Aggiungi -4x a 4x. I termini -4x e 4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$5y-4y=12$$

Aggiungi 5y a -4y.

$$y=12$$

Sostituisci 12 a y in -x+y=-3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-x+12=-3$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x=-15$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$x=15$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=15,y=12$$