Risolvi x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Trova x,.y

$$x=6$$

$$y=8$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12, il minimo comune multiplo di 3,4.

$$4x+3y=48$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4, il minimo comune multiplo di 2,4.

$$2x-y=4$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x+3y=48$$

Sottrai 3y da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=-3y+48$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Sostituisci -\frac{3y}{4}+12 a x nell'altra equazione 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Moltiplica 2 per -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Aggiungi -\frac{3y}{2} a -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Sottrai 24 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{5}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=8$$

Sostituisci 8 a y in x=-\frac{3}{4}y+12. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Moltiplica -\frac{3}{4} per 8.

$$x=-6+12$$

Aggiungi 12 a -6.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=8$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12, il minimo comune multiplo di 3,4.

$$4x+3y=48$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4, il minimo comune multiplo di 2,4.

$$2x-y=4$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=6,y=8$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12, il minimo comune multiplo di 3,4.

$$4x+3y=48$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4, il minimo comune multiplo di 2,4.

$$2x-y=4$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Per rendere 4x e 2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Semplifica.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Sottrai 8x-4y=16 a 8x+6y=96 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Aggiungi 8x a -8x. I termini 8x e -8x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$6y+4y=96-16$$

Aggiungi 6y a 4y.

$$10y=96-16$$

Aggiungi 96 a -16.

$$10y=80$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$y=8$$

Sostituisci 8 a y in 2x-y=4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$2x-8=4$$

Aggiungi 8 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=12$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=8$$