Risolvi x^2-5x+4/x^2+2x+1=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } = 0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

La variabile x non può essere uguale a -1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-5x+4 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-4 b=-1$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a -1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-4 b=-1$$

Riscrivi x^{2}-5x+4 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a -1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -5 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Aggiungi 25 a -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±3}{2} quando ± è più. Aggiungi 5 a 3.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividi 8 per 2.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±3}{2} quando ± è meno. Sottrai 3 da 5.

$$x=\frac{2}{2}$$

Dividi 2 per 2.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a -1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x^{2}-5x=-4$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Aggiungi -4 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=1$$