Risolvi x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Trova x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -4 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Aggiungi 16 a 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} quando ± è più. Aggiungi 4 a 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Dividi 4+2\sqrt{5} per 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{5} da 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Dividi 4-2\sqrt{5} per 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x^{2}-4x=1$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Aggiungi 1 a 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Semplifica.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$