Risolvi x^2/x^2+1

$$\frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 }$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2})-x^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+1\right)\times 2x^{2-1}-x^{2}\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{\left(x^{2}+1\right)\times 2x^{1}-x^{2}\times 2x^{1}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Espandi tramite proprietà distributiva.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{1}+2x^{1}-x^{2}\times 2x^{1}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{2x^{2+1}+2x^{1}-2x^{2+1}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{2x^{3}+2x^{1}-2x^{3}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(2-2\right)x^{3}+2x^{1}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Sottrai 2 da 2.

$$\frac{2x^{1}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Calcola

$$\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$$