Risolvi x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Trova x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Sottraendo -2 da se stesso rimane 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Sottrai -2 da 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci \frac{1}{9} a a, -\frac{4}{3} a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Eleva -\frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Moltiplica -4 per \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Moltiplica -\frac{4}{9} per 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Aggiungi \frac{16}{9} a -\frac{8}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Calcola la radice quadrata di \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

L'opposto di -\frac{4}{3} è \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Moltiplica 2 per \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} quando ± è più. Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Dividi \frac{4+2\sqrt{2}}{3} per\frac{2}{9} moltiplicando \frac{4+2\sqrt{2}}{3} per il reciproco di \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} quando ± è meno. Sottrai \frac{2\sqrt{2}}{3} da \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Dividi \frac{4-2\sqrt{2}}{3} per\frac{2}{9} moltiplicando \frac{4-2\sqrt{2}}{3} per il reciproco di \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Moltiplica entrambi i lati per 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

La divisione per \frac{1}{9} annulla la moltiplicazione per \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dividi -\frac{4}{3} per\frac{1}{9} moltiplicando -\frac{4}{3} per il reciproco di \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dividi -2 per\frac{1}{9} moltiplicando -2 per il reciproco di \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Dividi -12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -6. Quindi aggiungi il quadrato di -6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Eleva -6 al quadrato.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Aggiungi -18 a 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Fattore x^{2}-12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Semplifica.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$