Risolvi x^2+6x-7/3x^2-x-2=5

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -\frac{2}{3},1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x-5 per 3x+2 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Sottrai 15x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combina x^{2} e -15x^{2} per ottenere -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combina 6x e 5x per ottenere 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

E -7 e 10 per ottenere 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -14x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=14 b=-3$$

Riscrivi -14x^{2}+11x+3 come \left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Fattori in 14x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e 14x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

La variabile x non può essere uguale a 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -\frac{2}{3},1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x-5 per 3x+2 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Sottrai 15x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combina x^{2} e -15x^{2} per ottenere -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combina 6x e 5x per ottenere 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

E -7 e 10 per ottenere 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -14 a a, 11 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica -4 per -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica 56 per 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Aggiungi 121 a 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica 2 per -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±17}{-28} quando ± è più. Aggiungi -11 a 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

Riduci la frazione \frac{6}{-28} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±17}{-28} quando ± è meno. Sottrai 17 da -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

Dividi -28 per -28.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

La variabile x non può essere uguale a 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -\frac{2}{3},1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x-5 per 3x+2 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Sottrai 15x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combina x^{2} e -15x^{2} per ottenere -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combina 6x e 5x per ottenere 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

E -10 e 7 per ottenere -3.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Dividi entrambi i lati per -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

La divisione per -14 annulla la moltiplicazione per -14.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

Dividi 11 per -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

Dividi -3 per -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Dividi -\frac{11}{14}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{28}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{28} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{28} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

Aggiungi \frac{3}{14} a \frac{121}{784} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Fattore x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Aggiungi \frac{11}{28} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

La variabile x non può essere uguale a 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$