Risolvi x^199/x^200+100

$$\frac { x ^ { 199 } } { x ^ { 200 } + 100 }$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{x^{198}\left(19900-x^{200}\right)}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{200}+100\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{199})-x^{199}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{200}+100)}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{200}+100\right)\times 199x^{199-1}-x^{199}\times 200x^{200-1}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{\left(x^{200}+100\right)\times 199x^{198}-x^{199}\times 200x^{199}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Espandi tramite proprietà distributiva.

$$\frac{x^{200}\times 199x^{198}+100\times 199x^{198}-x^{199}\times 200x^{199}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{199x^{200+198}+100\times 199x^{198}-200x^{199+199}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{199x^{398}+19900x^{198}-200x^{398}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(199-200\right)x^{398}+19900x^{198}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Sottrai 200 da 199.

$$\frac{-x^{398}+19900x^{198}}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Scomponi x^{198} in fattori.

$$\frac{x^{198}\left(-x^{200}+19900x^{0}\right)}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{x^{198}\left(-x^{200}+19900\times 1\right)}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{x^{198}\left(-x^{200}+19900\right)}{\left(x^{200}+100\right)^{2}}$$

Calcola

$$\frac{x^{199}}{x^{200}+100}$$