Risolvi x^(x-1)2x/x^2+8x+15rightarrow

$$\frac { x ^ { ( x - 1 ) } 2 x } { x ^ { 2 } + 8 x + 15 } \rightarrow$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{2x^{x}\left(x^{2}\ln(x)+8x\ln(x)+15\ln(x)+x^{2}+6x+7\right)}{\left(\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{x-1}x^{1})-2x^{x-1}x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+8x^{1}+15)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)\times 2x^{x-1}x^{1-1}-2x^{x-1}x^{1}\left(2x^{2-1}+8x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)\times 2x^{x-1}x^{0}-2x^{x-1}x^{1}\left(2x^{1}+8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{2}+8x^{1}+15 per 2x^{x-1}x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{x-1}x^{0}+8x^{1}\times 2x^{x-1}x^{0}+15\times 2x^{x-1}x^{0}-2x^{x-1}x^{1}\left(2x^{1}+8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Moltiplica 2x^{x-1}x^{1} per 2x^{1}+8x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{x-1}x^{0}+8x^{1}\times 2x^{x-1}x^{0}+15\times 2x^{x-1}x^{0}-\left(2x^{x-1}x^{1}\times 2x^{1}+2x^{x-1}x^{1}\times 8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{2x^{x-1}x^{2}+8\times 2x^{x-1}x^{1}+15\times 2x^{x-1}x^{0}-\left(2x^{x-1}\times 2x^{1+1}+2x^{x-1}\times 8x^{1}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{2x^{x-1}x^{2}+16x^{x-1}x^{1}+30x^{x-1}x^{0}-\left(4x^{x-1}x^{2}+16x^{x-1}x^{1}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(-2x^{x-1}\right)x^{2}+30x^{x-1}x^{0}}{\left(x^{2}+8x^{1}+15\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{\left(-2x^{x-1}\right)x^{2}+30x^{x-1}x^{0}}{\left(x^{2}+8x+15\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{\left(-2x^{x-1}\right)x^{2}+30x^{x-1}\times 1}{\left(x^{2}+8x+15\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{\left(-2x^{x-1}\right)x^{2}+30x^{x-1}}{\left(x^{2}+8x+15\right)^{2}}$$

Calcola

$$\frac{2x^{x}}{\left(x+3\right)\left(x+5\right)}$$