Risolvi x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Trova x

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -9,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+9\right), il minimo comune multiplo di x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Moltiplica x+9 e x+9 per ottenere \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 16 per ottenere 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 8x per x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Sottrai 8x^{2} da entrambi i lati.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} e -8x^{2} per ottenere 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Sottrai 72x da entrambi i lati.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x e -72x per ottenere -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -6 come somma.

$$a=-3 b=-3$$

Riscrivi x^{2}-6x+9 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Fattori in x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi x-3=0.

$$x=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -9,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+9\right), il minimo comune multiplo di x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Moltiplica x+9 e x+9 per ottenere \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 16 per ottenere 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 8x per x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Sottrai 8x^{2} da entrambi i lati.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} e -8x^{2} per ottenere 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Sottrai 72x da entrambi i lati.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x e -72x per ottenere -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -54 a b e 81 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Eleva -54 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Aggiungi 2916 a -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

L'opposto di -54 è 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Dividi 54 per 18.

$$x=3$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -9,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+9\right), il minimo comune multiplo di x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Moltiplica x+9 e x+9 per ottenere \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 16 per ottenere 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 8x per x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Sottrai 8x^{2} da entrambi i lati.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} e -8x^{2} per ottenere 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Sottrai 72x da entrambi i lati.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x e -72x per ottenere -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Sottrai 81 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Dividi -54 per 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Dividi -81 per 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Aggiungi -9 a 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Fattore x^{2}-6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-3=0 x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=3$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=3$$