Risolvi w/3w-7+4/3w+7

$$\frac { w } { 3 w - 7 } + \frac { 4 } { 3 w + 7 }$$

Calcola

$$\frac{3w^{2}+19w-28}{9w^{2}-49}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di 3w-7 e 3w+7 è \left(3w-7\right)\left(3w+7\right). Moltiplica \frac{w}{3w-7} per \frac{3w+7}{3w+7}. Moltiplica \frac{4}{3w+7} per \frac{3w-7}{3w-7}.

$$\frac{w\left(3w+7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)}+\frac{4\left(3w-7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)}$$

Poiché \frac{w\left(3w+7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)} e \frac{4\left(3w-7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{w\left(3w+7\right)+4\left(3w-7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in w\left(3w+7\right)+4\left(3w-7\right).

$$\frac{3w^{2}+7w+12w-28}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)}$$

Unisci i termini come in 3w^{2}+7w+12w-28.

$$\frac{3w^{2}+19w-28}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)}$$

Espandi \left(3w-7\right)\left(3w+7\right).

$$\frac{3w^{2}+19w-28}{9w^{2}-49}$$

Differenzia rispetto a w

$$\frac{-171w^{2}+210w-931}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di 3w-7 e 3w+7 è \left(3w-7\right)\left(3w+7\right). Moltiplica \frac{w}{3w-7} per \frac{3w+7}{3w+7}. Moltiplica \frac{4}{3w+7} per \frac{3w-7}{3w-7}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{w\left(3w+7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)}+\frac{4\left(3w-7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)})$$

Poiché \frac{w\left(3w+7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)} e \frac{4\left(3w-7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{w\left(3w+7\right)+4\left(3w-7\right)}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in w\left(3w+7\right)+4\left(3w-7\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{3w^{2}+7w+12w-28}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)})$$

Unisci i termini come in 3w^{2}+7w+12w-28.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{3w^{2}+19w-28}{\left(3w-7\right)\left(3w+7\right)})$$

Considera \left(3w-7\right)\left(3w+7\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{3w^{2}+19w-28}{\left(3w\right)^{2}-7^{2}})$$

Espandi \left(3w\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{3w^{2}+19w-28}{3^{2}w^{2}-7^{2}})$$

Calcola 3 alla potenza di 2 e ottieni 9.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{3w^{2}+19w-28}{9w^{2}-7^{2}})$$

Calcola 7 alla potenza di 2 e ottieni 49.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(\frac{3w^{2}+19w-28}{9w^{2}-49})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(9w^{2}-49\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(3w^{2}+19w^{1}-28)-\left(3w^{2}+19w^{1}-28\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}(9w^{2}-49)}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(9w^{2}-49\right)\left(2\times 3w^{2-1}+19w^{1-1}\right)-\left(3w^{2}+19w^{1}-28\right)\times 2\times 9w^{2-1}}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(9w^{2}-49\right)\left(6w^{1}+19w^{0}\right)-\left(3w^{2}+19w^{1}-28\right)\times 18w^{1}}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Moltiplica 9w^{2}-49 per 6w^{1}+19w^{0}.

$$\frac{9w^{2}\times 6w^{1}+9w^{2}\times 19w^{0}-49\times 6w^{1}-49\times 19w^{0}-\left(3w^{2}+19w^{1}-28\right)\times 18w^{1}}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Moltiplica 3w^{2}+19w^{1}-28 per 18w^{1}.

$$\frac{9w^{2}\times 6w^{1}+9w^{2}\times 19w^{0}-49\times 6w^{1}-49\times 19w^{0}-\left(3w^{2}\times 18w^{1}+19w^{1}\times 18w^{1}-28\times 18w^{1}\right)}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{9\times 6w^{2+1}+9\times 19w^{2}-49\times 6w^{1}-49\times 19w^{0}-\left(3\times 18w^{2+1}+19\times 18w^{1+1}-28\times 18w^{1}\right)}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{54w^{3}+171w^{2}-294w^{1}-931w^{0}-\left(54w^{3}+342w^{2}-504w^{1}\right)}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{-171w^{2}+210w^{1}-931w^{0}}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-171w^{2}+210w-931w^{0}}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-171w^{2}+210w-931}{\left(9w^{2}-49\right)^{2}}$$