Risolvi f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Trova f,.g

$$f=10$$

$$g=30$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 33, il minimo comune multiplo di 11,33.

$$3f=g$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Sostituisci \frac{g}{3} a f nell'altra equazione f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Aggiungi \frac{g}{3} a g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{4}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$g=30$$

Sostituisci 30 a g in f=\frac{1}{3}g. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Moltiplica \frac{1}{3} per 30.

$$f=10$$

Il sistema è ora risolto.

$$f=10,g=30$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 33, il minimo comune multiplo di 11,33.

$$3f=g$$

Sottrai g da entrambi i lati.

$$3f-g=0$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice f e g.

$$f=10,g=30$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 33, il minimo comune multiplo di 11,33.

$$3f=g$$

Sottrai g da entrambi i lati.

$$3f-g=0$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Per rendere 3f e f uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Semplifica.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Sottrai 3f+3g=120 a 3f-g=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Aggiungi 3f a -3f. I termini 3f e -3f si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-g-3g=-120$$

Aggiungi -g a -3g.

$$-4g=-120$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$g=30$$

Sostituisci 30 a g in f+g=40. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per f.

$$f+30=40$$

Sottrai 30 da entrambi i lati dell'equazione.

$$f=10$$

Il sistema è ora risolto.

$$f=10,g=30$$