Risolvi frac{9^{n}*3^{2}*3^{n}-27^n}{(3^3)^5*2^3}=1/27

$$\frac { 9 ^ { n } \times 3 ^ { 2 } \times 3 ^ { n } - 27 ^ { n } } { ( 3 ^ { 3 } ) ^ { 5 } \times 2 ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 27 }$$

Trova n

$$n=4$$

Procedura usando la definizione di logaritmo

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 3 e 5 per ottenere 15.

$$\frac{9^{n}\times 3^{2}\times 3^{n}-27^{n}}{3^{15}\times 2^{3}}=\frac{1}{27}$$

Calcola 3 alla potenza di 2 e ottieni 9.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{3^{15}\times 2^{3}}=\frac{1}{27}$$

Calcola 3 alla potenza di 15 e ottieni 14348907.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{14348907\times 2^{3}}=\frac{1}{27}$$

Calcola 2 alla potenza di 3 e ottieni 8.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{14348907\times 8}=\frac{1}{27}$$

Moltiplica 14348907 e 8 per ottenere 114791256.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{114791256}=\frac{1}{27}$$

Sottrai \frac{1}{27} da entrambi i lati.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{114791256}-\frac{1}{27}=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di 114791256 e 27 è 114791256. Moltiplica \frac{1}{27} per \frac{4251528}{4251528}.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{114791256}-\frac{4251528}{114791256}=0$$

Poiché \frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}}{114791256} e \frac{4251528}{114791256} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}-4251528}{114791256}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in 9^{n}\times 9\times 3^{n}-27^{n}-4251528.

$$\frac{9\times 27^{n}-27^{n}-4251528}{114791256}=0$$

Unisci i termini come in 9\times 27^{n}-27^{n}-4251528.

$$\frac{8\times 27^{n}-4251528}{114791256}=0$$

Dividi ogni termine di 8\times 27^{n}-4251528 per 114791256 per ottenere \frac{1}{14348907}\times 27^{n}-\frac{1}{27}.

$$\frac{1}{14348907}\times 27^{n}-\frac{1}{27}=0$$

Aggiungi \frac{1}{27} a entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{1}{14348907}\times 27^{n}=\frac{1}{27}$$

Moltiplica entrambi i lati per 14348907.

$$27^{n}=531441$$

Calcola il logaritmo di entrambi i lati dell'equazione.

$$\log(27^{n})=\log(531441)$$

Il logaritmo di un numero elevato a potenza è uguale alla potenza per il logaritmo del numero.

$$n\log(27)=\log(531441)$$

Dividi entrambi i lati per \log(27).

$$n=\frac{\log(531441)}{\log(27)}$$

In base alla formula del cambiamento di base \frac{\log(a)}{\log(b)}=\log_{b}\left(a\right).

$$n=\log_{27}\left(531441\right)$$

Trova n (soluzione complessa)

$$n=\frac{2\pi n_{1}i}{3\ln(3)}+4$$

$$n_{1}\in \mathrm{Z}$$