Risolvi 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Trova x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -15,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4x\left(x+15\right), il minimo comune multiplo di x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x+60 per 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Moltiplica 4 e 75 per ottenere 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Moltiplica 4 e \frac{1}{4} per ottenere 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x e 15x per ottenere 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Sottrai 315x da entrambi i lati.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x e -315x per ottenere -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+4500. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -15 come somma.

$$a=60 b=-75$$

Riscrivi -x^{2}-15x+4500 come \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Fattori in x nel primo e 75 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+60 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+60=0 e x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -15,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4x\left(x+15\right), il minimo comune multiplo di x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x+60 per 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Moltiplica 4 e 75 per ottenere 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Moltiplica 4 e \frac{1}{4} per ottenere 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x e 15x per ottenere 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Sottrai 315x da entrambi i lati.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x e -315x per ottenere -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -15 a b e 4500 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 225 a 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±135}{-2} quando ± è più. Aggiungi 15 a 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Dividi 150 per -2.

$$x=-75$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±135}{-2} quando ± è meno. Sottrai 135 da 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Dividi -120 per -2.

$$x=60$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-75 x=60$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -15,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4x\left(x+15\right), il minimo comune multiplo di x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x+60 per 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Moltiplica 4 e 75 per ottenere 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Moltiplica 4 e \frac{1}{4} per ottenere 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x e 15x per ottenere 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Sottrai 315x da entrambi i lati.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x e -315x per ottenere -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Sottrai 4500 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Dividi -15 per -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Dividi -4500 per -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Dividi 15, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{15}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{15}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Aggiungi 4500 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Fattore x^{2}+15x+\frac{225}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Sottrai \frac{15}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=60 x=-75$$