Risolvi frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Calcola

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Procedura della soluzione

Fattorizzare 27=3^{2}\times 3. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{3^{2}\times 3} come prodotto delle radici quadrate \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Calcola la radice quadrata di 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Considera \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Eleva 4 al quadrato. Eleva \sqrt{3} al quadrato.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Sottrai 3 da 16 per ottenere 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 6+3\sqrt{3} per ogni termine di 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Combina 6\sqrt{3} e 12\sqrt{3} per ottenere 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Moltiplica 3 e 3 per ottenere 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

E 24 e 9 per ottenere 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$