Risolvi 5x/x+2-20/x^2+2x=4/x

$$\frac { 5 x } { x + 2 } - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 2 x } = \frac { 4 } { x }$$

Trova x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x+2,x^{2}+2x,x.

$$x\times 5x-20=\left(x+2\right)\times 4$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}\times 5-20=\left(x+2\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 4.

$$x^{2}\times 5-20=4x+8$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$x^{2}\times 5-20-4x=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$x^{2}\times 5-20-4x-8=0$$

Sottrai 8 da -20 per ottenere -28.

$$x^{2}\times 5-28-4x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$5x^{2}-4x-28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=5\left(-28\right)=-140$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -140.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-14 b=10$$

Riscrivi 5x^{2}-4x-28 come \left(5x^{2}-14x\right)+\left(10x-28\right).

$$\left(5x^{2}-14x\right)+\left(10x-28\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(5x-14\right)+2\left(5x-14\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-14 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-14\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-14=0 e x+2=0.

$$x=\frac{14}{5} x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a -2.

$$x=\frac{14}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x+2,x^{2}+2x,x.

$$x\times 5x-20=\left(x+2\right)\times 4$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}\times 5-20=\left(x+2\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 4.

$$x^{2}\times 5-20=4x+8$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$x^{2}\times 5-20-4x=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$x^{2}\times 5-20-4x-8=0$$

Sottrai 8 da -20 per ottenere -28.

$$x^{2}\times 5-28-4x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-4x-28=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -4 a b e -28 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-28\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-28\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-28\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -28.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+560}}{2\times 5}$$

Aggiungi 16 a 560.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{576}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 576.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±24}{2\times 5}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±24}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{4±24}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±24}{10} quando ± è più. Aggiungi 4 a 24.

$$x=\frac{28}{10}$$

Riduci la frazione \frac{28}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{14}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±24}{10} quando ± è meno. Sottrai 24 da 4.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Dividi -20 per 10.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{14}{5} x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a -2.

$$x=\frac{14}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x+2,x^{2}+2x,x.

$$x\times 5x-20=\left(x+2\right)\times 4$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}\times 5-20=\left(x+2\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 4.

$$x^{2}\times 5-20=4x+8$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$x^{2}\times 5-20-4x=8$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati.

$$x^{2}\times 5-4x=8+20$$

E 8 e 20 per ottenere 28.

$$x^{2}\times 5-4x=28$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x=28$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{28}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{28}{5}$$

Dividi -\frac{4}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{28}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{28}{5}+\frac{4}{25}$$

Aggiungi \frac{28}{5} a \frac{4}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{144}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{12}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$$

Aggiungi \frac{2}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{14}{5} x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a -2.

$$x=\frac{14}{5}$$