Risolvi 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right), il minimo comune multiplo di x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-4x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combina 5x e 4x per ottenere 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Sottrai 3 da -10 per ottenere -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7 per x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7x-21 per x-2 e combinare i termini simili.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Sottrai 7x^{2} da entrambi i lati.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Combina -x^{2} e -7x^{2} per ottenere -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Aggiungi 35x a entrambi i lati.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Combina 9x e 35x per ottenere 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Sottrai 42 da entrambi i lati.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Sottrai 42 da -13 per ottenere -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -8 a a, 44 a b e -55 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Eleva 44 al quadrato.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica -4 per -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica 32 per -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Aggiungi 1936 a -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica 2 per -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} quando ± è più. Aggiungi -44 a 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Dividi -44+4\sqrt{11} per -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{11} da -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Dividi -44-4\sqrt{11} per -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 2,3 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-3\right)\left(x-2\right), il minimo comune multiplo di x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-3 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-4x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combina 5x e 4x per ottenere 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Sottrai 3 da -10 per ottenere -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7 per x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7x-21 per x-2 e combinare i termini simili.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Sottrai 7x^{2} da entrambi i lati.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Combina -x^{2} e -7x^{2} per ottenere -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Aggiungi 35x a entrambi i lati.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Combina 9x e 35x per ottenere 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Aggiungi 13 a entrambi i lati.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

E 42 e 13 per ottenere 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Dividi entrambi i lati per -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

La divisione per -8 annulla la moltiplicazione per -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Riduci la frazione \frac{44}{-8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Dividi 55 per -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Dividi -\frac{11}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Aggiungi -\frac{55}{8} a \frac{121}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Aggiungi \frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$