Risolvi 5/x-2-3/x+6=4/x

$$\frac { 5 } { x - 2 } - \frac { 3 } { x + 6 } = \frac { 4 } { x }$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=12$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -6,0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-2\right)\left(x+6\right), il minimo comune multiplo di x-2,x+6,x.

$$x\left(x+6\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+6.

$$\left(x^{2}+6x\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+6x per 5.

$$5x^{2}+30x-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-2.

$$5x^{2}+30x-\left(x^{2}-2x\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-2x per 3.

$$5x^{2}+30x-\left(3x^{2}-6x\right)=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Per trovare l'opposto di 3x^{2}-6x, trova l'opposto di ogni termine.

$$5x^{2}+30x-3x^{2}+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Combina 5x^{2} e -3x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}+30x+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Combina 30x e 6x per ottenere 36x.

$$2x^{2}+36x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x+6 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+36x=\left(x^{2}+4x-12\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+4x-12 per 4.

$$2x^{2}+36x=4x^{2}+16x-48$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}+36x-4x^{2}=16x-48$$

Combina 2x^{2} e -4x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-2x^{2}+36x=16x-48$$

Sottrai 16x da entrambi i lati.

$$-2x^{2}+36x-16x=-48$$

Combina 36x e -16x per ottenere 20x.

$$-2x^{2}+20x=-48$$

Aggiungi 48 a entrambi i lati.

$$-2x^{2}+20x+48=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, 20 a b e 48 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\times 48}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\times 48}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\times 48}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per 48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 400 a 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{-20±28}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±28}{-4} quando ± è più. Aggiungi -20 a 28.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Dividi 8 per -4.

$$x=-2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±28}{-4} quando ± è meno. Sottrai 28 da -20.

$$x=-\frac{48}{-4}$$

Dividi -48 per -4.

$$x=12$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-2 x=12$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -6,0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-2\right)\left(x+6\right), il minimo comune multiplo di x-2,x+6,x.

$$x\left(x+6\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+6.

$$\left(x^{2}+6x\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+6x per 5.

$$5x^{2}+30x-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-2.

$$5x^{2}+30x-\left(x^{2}-2x\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-2x per 3.

$$5x^{2}+30x-\left(3x^{2}-6x\right)=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Per trovare l'opposto di 3x^{2}-6x, trova l'opposto di ogni termine.

$$5x^{2}+30x-3x^{2}+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Combina 5x^{2} e -3x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}+30x+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Combina 30x e 6x per ottenere 36x.

$$2x^{2}+36x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x+6 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+36x=\left(x^{2}+4x-12\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+4x-12 per 4.

$$2x^{2}+36x=4x^{2}+16x-48$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}+36x-4x^{2}=16x-48$$

Combina 2x^{2} e -4x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-2x^{2}+36x=16x-48$$

Sottrai 16x da entrambi i lati.

$$-2x^{2}+36x-16x=-48$$

Combina 36x e -16x per ottenere 20x.

$$-2x^{2}+20x=-48$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=-\frac{48}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=-\frac{48}{-2}$$

Dividi 20 per -2.

$$x^{2}-10x=-\frac{48}{-2}$$

Dividi -48 per -2.

$$x^{2}-10x=24$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=24+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x^{2}-10x+25=24+25$$

Aggiungi 24 a 25.

$$x^{2}-10x+25=49$$

Scomponi x^{2}-10x+25 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=49$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Semplifica.

$$x-5=7 x-5=-7$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12 x=-2$$