Risolvi 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 0,6 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-6\right), il minimo comune multiplo di x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-6 per 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combina 4x e x\times 4 per ottenere 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combina 8x e 6x per ottenere 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=12 b=2$$

Riscrivi -x^{2}+14x-24 come \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Fattorizza -x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-12 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-12=0 e -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 0,6 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-6\right), il minimo comune multiplo di x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-6 per 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combina 4x e x\times 4 per ottenere 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combina 8x e 6x per ottenere 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 14 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 196 a -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±10}{-2} quando ± è più. Aggiungi -14 a 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividi -4 per -2.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±10}{-2} quando ± è meno. Sottrai 10 da -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Dividi -24 per -2.

$$x=12$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=12$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 0,6 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-6\right), il minimo comune multiplo di x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-6 per 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combina 4x e x\times 4 per ottenere 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combina 8x e 6x per ottenere 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$14x-x^{2}=24$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Dividi 14 per -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Dividi 24 per -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Dividi -14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -7. Quindi aggiungi il quadrato di -7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Aggiungi -24 a 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Scomponi x^{2}-14x+49 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12 x=2$$