Risolvi 4/x^2-55/x=14

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0,071428571$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{2}, il minimo comune multiplo di x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Sottrai 14x^{2} da entrambi i lati.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Moltiplica -1 e 55 per ottenere -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -14x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -55 come somma.

$$a=1 b=-56$$

Riscrivi -14x^{2}-55x+4 come \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

Fattori in -x nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 14x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 14x-1=0 e -x-4=0.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{2}, il minimo comune multiplo di x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Sottrai 14x^{2} da entrambi i lati.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Moltiplica -1 e 55 per ottenere -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -14 a a, -55 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Eleva -55 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica -4 per -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica 56 per 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

Aggiungi 3025 a 224.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 3249.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

L'opposto di -55 è 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica 2 per -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{55±57}{-28} quando ± è più. Aggiungi 55 a 57.

$$x=\frac{112}{-28}$$

Dividi 112 per -28.

$$x=-4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{55±57}{-28} quando ± è meno. Sottrai 57 da 55.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{-28} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{14}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{2}, il minimo comune multiplo di x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Sottrai 14x^{2} da entrambi i lati.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

Moltiplica -1 e 55 per ottenere -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -14.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

La divisione per -14 annulla la moltiplicazione per -14.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

Dividi -55 per -14.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{-14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

Dividi \frac{55}{14}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{55}{28}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{55}{28} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

Eleva \frac{55}{28} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

Aggiungi \frac{2}{7} a \frac{3025}{784} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

Fattore x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

Sottrai \frac{55}{28} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$