Risolvi 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Trova x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,-2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+2\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+3x, trova l'opposto di ogni termine.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 2x+1 e combinare i termini simili.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} e -2x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x e -5x per ottenere -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Sottrai 2 da 30 per ottenere 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=6 b=-14$$

Riscrivi -3x^{2}-8x+28 come \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Fattorizza 3x nel primo e 14 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Fattorizzare il termine comune -x+2 usando la proprietà distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi -x+2=0 e 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,-2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+2\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+3x, trova l'opposto di ogni termine.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 2x+1 e combinare i termini simili.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} e -2x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x e -5x per ottenere -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Sottrai 2 da 30 per ottenere 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, -8 a b e 28 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 64 a 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±20}{-6} quando ± è più. Aggiungi 8 a 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{28}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±20}{-6} quando ± è meno. Sottrai 20 da 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Dividi -12 per -6.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,-2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+2\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+3x, trova l'opposto di ogni termine.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 2x+1 e combinare i termini simili.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} e -2x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x e -5x per ottenere -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Sottrai 30 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Sottrai 30 da 2 per ottenere -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Dividi -8 per -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Dividi -28 per -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Dividi \frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Aggiungi \frac{28}{3} a \frac{16}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Scomponi x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Sottrai \frac{4}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$