Risolvi 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Trova x,.y

$$x=6$$

$$y=2$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$3x+2y=22$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2x+y=14$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x+2y=22$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=-2y+22$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Sostituisci \frac{-2y+22}{3} a x nell'altra equazione 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Moltiplica 2 per \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Aggiungi -\frac{4y}{3} a y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Sottrai \frac{44}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Moltiplica entrambi i lati per -3.

$$y=2$$

Sostituisci 2 a y in x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Moltiplica -\frac{2}{3} per 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Aggiungi \frac{22}{3} a -\frac{4}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=2$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$3x+2y=22$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2x+y=14$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=6,y=2$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$3x+2y=22$$

Considera la seconda equazione. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2x+y=14$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Per rendere 3x e 2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Semplifica.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Sottrai 6x+3y=42 a 6x+4y=44 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Aggiungi 6x a -6x. I termini 6x e -6x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y-3y=44-42$$

Aggiungi 4y a -3y.

$$y=44-42$$

Aggiungi 44 a -42.

$$y=2$$

Sostituisci 2 a y in 2x+y=14. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$2x+2=14$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=12$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=6,y=2$$