Risolvi 3w(w+8)+w(w-4)/2-3=5-w^2

$$\frac { 3 w ( w + 8 ) + w ( w - 4 ) } { 2 } - 3 = 5 - w ^ { 2 }$$

Trova w

$$w=-4$$

$$w=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3w per w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare w per w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Combina 3w^{2} e w^{2} per ottenere 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Combina 24w e -4w per ottenere 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Sottrai 10 da entrambi i lati.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Sottrai 10 da -6 per ottenere -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Aggiungi 2w^{2} a entrambi i lati.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Combina 4w^{2} e 2w^{2} per ottenere 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$3w^{2}+10w-8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3w^{2}+aw+bw-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-2 b=12$$

Riscrivi 3w^{2}+10w-8 come \left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right).

$$\left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right)$$

Fattori in w nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$w\left(3w-2\right)+4\left(3w-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3w-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3w-2\right)\left(w+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3w-2=0 e w+4=0.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3w per w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare w per w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Combina 3w^{2} e w^{2} per ottenere 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Combina 24w e -4w per ottenere 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Sottrai 10 da entrambi i lati.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Sottrai 10 da -6 per ottenere -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Aggiungi 2w^{2} a entrambi i lati.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Combina 4w^{2} e 2w^{2} per ottenere 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 20 a b e -16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-24\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -16.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 6}$$

Aggiungi 400 a 384.

$$w=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 784.

$$w=\frac{-20±28}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$w=\frac{-20±28}{12}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{-20±28}{12} quando ± è più. Aggiungi -20 a 28.

$$w=\frac{8}{12}$$

Riduci la frazione \frac{8}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$w=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{-20±28}{12} quando ± è meno. Sottrai 28 da -20.

$$w=-\frac{48}{12}$$

Dividi -48 per 12.

$$w=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3w per w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare w per w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Combina 3w^{2} e w^{2} per ottenere 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Combina 24w e -4w per ottenere 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Aggiungi 2w^{2} a entrambi i lati.

$$4w^{2}+20w-6+2w^{2}=10$$

Combina 4w^{2} e 2w^{2} per ottenere 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-6=10$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati.

$$6w^{2}+20w=10+6$$

E 10 e 6 per ottenere 16.

$$6w^{2}+20w=16$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6w^{2}+20w}{6}=\frac{16}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$w^{2}+\frac{20}{6}w=\frac{16}{6}$$

Riduci la frazione \frac{20}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{16}{6}$$

Riduci la frazione \frac{16}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{8}{3}$$

Dividi \frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattore w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Semplifica.

$$w+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} w+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Sottrai \frac{5}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$