Risolvi 3/x-6-2/x+2

$$\frac { 3 } { x - 6 } - \frac { 2 } { x + 2 }$$

Calcola

$$\frac{x+18}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-6 e x+2 è \left(x-6\right)\left(x+2\right). Moltiplica \frac{3}{x-6} per \frac{x+2}{x+2}. Moltiplica \frac{2}{x+2} per \frac{x-6}{x-6}.

$$\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}$$

Poiché \frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)} e \frac{2\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{3\left(x+2\right)-2\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 3\left(x+2\right)-2\left(x-6\right).

$$\frac{3x+6-2x+12}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}$$

Unisci i termini come in 3x+6-2x+12.

$$\frac{x+18}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}$$

Espandi \left(x-6\right)\left(x+2\right).

$$\frac{x+18}{x^{2}-4x-12}$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{60-36x-x^{2}}{x^{4}-8x^{3}-8x^{2}+96x+144}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-6 e x+2 è \left(x-6\right)\left(x+2\right). Moltiplica \frac{3}{x-6} per \frac{x+2}{x+2}. Moltiplica \frac{2}{x+2} per \frac{x-6}{x-6}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)})$$

Poiché \frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)} e \frac{2\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(x+2\right)-2\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 3\left(x+2\right)-2\left(x-6\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x+6-2x+12}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)})$$

Unisci i termini come in 3x+6-2x+12.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+18}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)})$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di x-6 per ogni termine di x+2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+18}{x^{2}+2x-6x-12})$$

Combina 2x e -6x per ottenere -4x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+18}{x^{2}-4x-12})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}+18)-\left(x^{1}+18\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4x^{1}-12)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)x^{1-1}-\left(x^{1}+18\right)\left(2x^{2-1}-4x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)x^{0}-\left(x^{1}+18\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{2}-4x^{1}-12 per x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}-4x^{1}x^{0}-12x^{0}-\left(x^{1}+18\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{1}+18 per 2x^{1}-4x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}-4x^{1}x^{0}-12x^{0}-\left(x^{1}\times 2x^{1}+x^{1}\left(-4\right)x^{0}+18\times 2x^{1}+18\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{x^{2}-4x^{1}-12x^{0}-\left(2x^{1+1}-4x^{1}+18\times 2x^{1}+18\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{x^{2}-4x^{1}-12x^{0}-\left(2x^{2}-4x^{1}+36x^{1}-72x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{-x^{2}-36x^{1}+60x^{0}}{\left(x^{2}-4x^{1}-12\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-x^{2}-36x+60x^{0}}{\left(x^{2}-4x-12\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}-36x+60\times 1}{\left(x^{2}-4x-12\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{-x^{2}-36x+60}{\left(x^{2}-4x-12\right)^{2}}$$